球対称にすると、divが
から
に変わる。
これによって方程式がどのように変化するかを考える。
を有限体積のセルで積分して
新たに、
と書くと、
に、LWスキームの差分化を適用することになる。
が、セルでの代表値の時間変化に対する式であることに
注意して、Qと
の間には
の関係があることに注意せよ。
セルの中心での従属変数の値を
、それに対応する流束の値を
、
中心からの距離を
とする。セルの側壁の中心からの距離は
と
とする。
LWスキームの第１段は
となる。次に、
すなわち
によって、
の値に変換し、そこでの流束の値
を求める。
第２段は、
となる。これから新たな時間ステップでの物理量は、
となる。
運動量密度に関する方程式には
という項が含まれている。
これを含めるには、第１段階では、
をあらたな
とすればよい。
から計算される
を用いて、第２段では、
を新たな
とすればよい。
重力の効果も同様にして取り込める。
球の中心では、第１段の(26)では
とすることによって、
左側からの流束がないこと、また、第２段の(29)では、
とすることによって、左側からの質量とエネルギーの流速は0とし、
運動量流速については、圧力による部分を含めて、入りと出が
相殺するようにして時間変化がないようにすれば良い。
これも含めて、１次元球対称系の流体力学方程式を解くスキームの プログラムを完成させよ。
テスト問題
「宇宙流体力学」に書かれていた、点源爆発の相似解を再現できることを 確かめよ。
