流体力学方程式の風上差分法（２）---Flux Vector Splitting法

固有値

を考える。 はのうち正の固有値のみを持つ行列、は負の 固有値のみを持つ行列である。 この速度でやりとりされる、流束の方もによって移動すると によって移動するとに分離することを考える。 そこで、については後退差分を、については前進差分をとれば 自然と風上差分が実現する。 この方法を、Flux vector Splitting(FVS:流速分離）法という。

空間微分の項は

のように書ける。 ここで、流束は

のように計算される。

プログラムを見てみよう。 右固有行列RをR[l,m]に、 その逆行列をL[l,m]に求めるところはFDSと同じである。 w[n1,n2]はが格納される。 最後にこれに伴う数値流束をEp[j]に求めている。

    for n1:=1 to 3 do
    begin
      for n2:=1 to 3 do
      begin
        w[n1,n2]:=0.0;
        for k:=1 to 3 do
        begin
          w[n1,n2]:=w[n1,n2]
            +R[n1,k]*max(0.0,Lambda[k])*L[k,n2];
        end;
      end;
    end;
    E1p[j]:=w[1,1]*rho[j]+w[1,2]*m[j]+w[1,3]*e[j];
    E2p[j]:=w[2,1]*rho[j]+w[2,2]*m[j]+w[2,3]*e[j];
    E3p[j]:=w[3,1]*rho[j]+w[3,2]*m[j]+w[3,3]*e[j];

    for n1:=1 to 3 do
    begin
      for n2:=1 to 3 do
      begin
        w[n1,n2]:=0.0;
        for k:=1 to 3 do
        begin
          w[n1,n2]:=w[n1,n2]
            +R[n1,k]*min(0.0,Lambda[k])*L[k,n2];
        end;
      end;
    end;
    E1m[j]:=w[1,1]*rho[j]+w[1,2]*m[j]+w[1,3]*e[j];
    E2m[j]:=w[2,1]*rho[j]+w[2,2]*m[j]+w[2,3]*e[j];
    E3m[j]:=w[3,1]*rho[j]+w[3,2]*m[j]+w[3,3]*e[j];
  end;

  for j:=1 to jm-1 do
  begin
    rho[j]:=rho[j]-nu*(E1p[j]+E1m[j+1]-E1p[j-1]-E1m[j]);
    m[j]  :=m[j]  -nu*(E2p[j]+E2m[j+1]-E2p[j-1]-E2m[j]);
    e[j]  :=e[j]  -nu*(E3p[j]+E3m[j+1]-E3p[j-1]-E3m[j]);
  end;

  
Figure 3.7: Steger WarmingのFlux Vector Splitting法による衝撃波管問題の解。 初期条件は同じ。