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流体の方程式

まず最初の基礎方程式は、 ある体積の中に含まれる流体の質量が単位時間に流れ込む 質量流速によって増減するという連続の式

から得られる。 右辺を体積積分に変換し、Vとして微小体積を考えれば、

 

が得られる。

つぎに、ある体積の中に含まれる流体の運動量は、質量と同じように、 単位時間に流れ込む運動量流速によって増減するが、それに加えて運動量の場合は、 この流体の体積に加わっている「力」によっても増減する。 流体の中でかならず考慮しなければならない圧力による力は、圧力勾配に 比例するので、

となる。 ここで、右辺を体積積分に変換し、Vとして微小体積を考えれば、

 

が得られる。 この式は添字をつけて書くと、

と書ける。もちろん、を表している。

さて、断熱の場合のエネルギーに関する方程式は、

 

ここでeは単位体積あたりの全エネルギーで

第1項は単位体積当たりの 運動エネルギー、第2項はおなじく熱エネルギーを表す。 理想気体の場合は である。

質量と同じように、全エネルギーの増減はエネルギー流速によるだけなら、 となるはずであるが、そうではない。 熱力学の第1法則で断熱の場合を考えると、内部エネルギーUと 体積V

という関係で変化する。 これから、単位体積あたりの熱エネルギー

という関係にしたがって変化することが簡単な計算でわかる。 これと式(1.4)から得られる運動エネルギーの変化を表す (この式の右辺が単位体積・単位時間に流体素片になされた仕事を表すことに注意)

の和をとれば全エネルギーに関する方程式(1.6)が得られる。

流体力学の基礎方程式は、式(1.2)、(1.4)、 (1.6)ということになる。 1次元の流体の基礎方程式は、3つの式をベクトルのように並べて書いて、

と書ける ただし、QEは物理量をならべたベクトルで、

 

である。



Kohji Tomisaka
1999年02月16日 18時10分21秒