重力流束テンソル

式(1)を書き換えて、右辺を発散の中に取り込む、 つまり、

$$\frac{\partial \rho\bm{v}}{\partial t}+\nabla\cdot[\rho\bm{v}\otimes\bm{v}+p\mathtt{I}+\mathtt{T_g}]=0$$ (7)

のように書き換えることをめざす。

Jiang+ 2013の式(14)によれば $\bar{\rho}=0$なら

$$\mathtt{T_g}=\frac{1}{4\pi G}\left[\bm{g}\otimes\bm{g} -\frac{1}{2}\left(\bm{g}\cdot\bm{g}\right)\mathtt{I} \right]$$ (8)

であるから、 $\bar{\rho}\ne 0$なら

$$\mathtt{T_g}=\frac{1}{4\pi G}\left[\bm{g}\otimes\bm{g} -\frac{1}{... ...artial x_2}&0\\ 0&0&\frac{\partial \bar{\rho}\phi}{\partial x_3} \end{pmatrix}$$ (9)

である。 この重力テンソル（運動量流束テンソルに付加する重力起源の部分）をもちいて、

$$\rho\bm{g}=-\nabla \cdot \mathtt{T_g}$$ (10)

という風に表されたことになる