$\nabla \times \bm {g}=0$が重要

式(8)のように書き換えられるには $\nabla \times \bm {g}=0$が条件と なっていることに注意する必要がある。 これを理解するには、式(8)の一部分を書き下してみれば良い。 式(10)は

$$\small \rho\begin{pmatrix}g_x\\ g_y\\ g_z\end{pmatrix}=-\frac{1}{... ...z\\ g_xg_z & g_yg_z & \frac{1}{2}\left(-g_x^2-g_y^2+g_z^2\right) \end{pmatrix}$$ (11)

であるから、 $\rho \bm {g}$の$x$成分は

$$\rho g_x =-\frac{1}{4\pi G}\left\{\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{... ...c{\partial }{\partial y}(g_xg_y) +\frac{\partial }{\partial z}(g_xg_z) \right\}$$ (12)

$$=-\frac{1}{4\pi G}\left\{ g_x\nabla\cdot\bm{g}-\left(\frac{\parti... ...rac{\partial g_x}{\partial z}-\frac{\partial g_z}{\partial x}\right)g_z\right\}$$ (13)

であるが、式(13)の2項目と3項目が0である場合に限って、 右辺は$\rho g_x$を与える。

短く言うとMHG2021の式(34)

$$\nabla\cdot\mathtt{T_g}=-\frac{\nabla\cdot\bm{g}}{4\pi G}\bm{g} -\frac{\nabla\times\bm{g}}{4\pi G}\times\bm{g}$$ (14)

が一般形であって、 $\nabla \times \bm {g}=0$の条件を満たすときにのみ、 式(10)が成り立つことになる。

なお、MHDにおけるローレンツ力もマックスウェル応力の発散の形に書き直すと、

$$\bm{F} =\frac{1}{c}\bm{j}\times\bm{B}$$

$$=\frac{1}{4\pi}\left(\nabla\times\bm{B}\right)\times \bm{B}$$

$$=-\frac{1}{8\pi}\nabla\left(\bm{B}\cdot\bm{B}\right)+\frac{1}{4\pi}\left(\bm{B}\cdot\nabla\right)\bm{B}$$

$$=-\nabla\cdot\left[\frac{1}{8\pi}(\bm{B}\cdot\bm{B})\mathtt{I}-\f... ...}\bm{B}\otimes\bm{B}\right] -\frac{1}{4\pi}\bm{B}\left(\nabla\cdot\bm{B}\right)$$ (15)

のように変形されるが、最終項で $\nabla\cdot\bm{B}=0$を満足する場合のみ、 （そして $\nabla\cdot\bm{B}=0$はマックスウェル方程式の一部であるが） マックスウエル応力の磁場成分、

$$\mathtt{T_M}=\frac{1}{8\pi}(\bm{B}\cdot\bm{B})\mathtt{I}-\frac{1}{4\pi}\bm{B}\otimes\bm{B}$$ (16)

の発散の形に書ける事に注意すべきである。