重力場の回転

図: MHG21の提案するソース項 $\rho \bm {g}$の表現で $\nabla \times \bm {g}=0$が保証される説明。 $\left . \nabla \times \bm {g}\right \vert _z$に関する、この図中の番号は、式(37)右辺の項の順番に対応しており、 それぞれの辺がどの線積分に対応するかを示している。

このMHG21の表現で、$\bm{g}$の回転は

$$\nabla\times \bm{g} =\begin{pmatrix} \partial g_z/\partial y-\partial g_y/\partial z\... ...g_z/\partial x\\ \partial g_y/\partial x-\partial g_x/\partial y \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} \frac{g_{z,i,j+1,k}-g_{z,i,j-1,k}}{2\Delta y}-\f... ...-1,j,k}}{2\Delta x}-\frac{g_{x,i,j+1,k}-g_{x,i,j-1,k}}{2\Delta y} \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix} \frac{g_{z,i,j+1,k+1/2}+g_{z,i,j+1,k-1/2}-g_{z,i... ...g_{x,i-1/2,j+1,k}-g_{x,i+1/2,j-1,k}-g_{x,i-1/2,j-1,k}}{4\Delta y} \end{pmatrix}$$ (36)

となる。 一つの成分について調べてみれば十分なので、$z$成分に着目し、 この式(36)の$z$成分に $4\Delta x\Delta y$を掛けると

$$\begin{multline} \left(\frac{\partial g_y}{\partial x}-\frac{\partial g_x}{\part... ...x,i-1/2,j+1,k}-g_{x,i+1/2,j-1,k}-g_{x,i-1/2,j-1,k}\right)\Delta x \end{multline}$$

それぞれの項は、図1の$1\sim 8$の長さ$\Delta x$および$\Delta y$の 線分に対する線積分を与える。 例えば、第1項は $g_{y,i+1,j+1/2,k}\Delta y$であるが、図1の太い矢印部分の $\int\bm{g}\cdot d\bm{s}$の積分値の評価となっている。 式(37)は$(i,j)$を取り囲む8個のセルを周回する積分

$$\oint \bm{g}\cdot d\bm{s}=0$$ (38)

を与えるので、$\bm{g}$がポテンシャル場であれば（そして“ポテンシャル場的”に差分が作られていれば）消えることになる。 それは式(37)に、$\bm{g}$の具体的な形、 式(32)、(33)、(34)を入れてみれば、

$$= \left(g_{y,i+1,j+1/2}+g_{y,i+1,j-1/2}-g_{y,i-1,j+1/2}-g_{y,i-1,j-1/2}\right)\Delta y$$

$$-\left(g_{x,i+1/2,j+1}+g_{x,i-1/2,j+1}-g_{x,i+1/2,j-1}-g_{x,i-1/2,j-1}\right)\Delta x$$

$$= \phi_{i+1,j+1}-\phi_{i+1,j}+\phi_{i+1,j}-\phi_{i+1,j-1} -\phi_{i-1,j+1}+\phi_{i-1,j}-\phi_{i-1,j}+\phi_{i-1,j-1}$$

$$-\phi_{i+1,j+1}+\phi_{i,j+1}-\phi_{i,j+1}+\phi_{i-1,j+1} +\phi_{i+1,j-1}-\phi_{i,j-1}+\phi_{i,j-1}-\phi_{i-1,j-1}$$

$$=$$ 0 (39)

であることで確かめられる。