ソース項で取るべき差分

それらをまとめておく。ポアッソン方程式は

$\displaystyle \frac{\phi_{i-1,j,k}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i+1,j,k}}{\Delta x^2} +\... ...{\phi_{i,j,k-1}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i,j,k-1}}{\Delta z^2} = 4\pi G \rho_{i,j,k}$

(27)

重力テンソルの発散で重力加速度を計算するためには、セル表面での $\bm{g}$ の値が必要である（式(26)の後ろ側の項の表現）。それは以下のように定義される。

$\displaystyle g_{x,i+1/2,j,k}$	$\displaystyle =-\frac{\phi_{i+1,j,k}-\phi_{i,j,k}}{\Delta x}$	(28)
$\displaystyle g_{y,i,j+1/2,k}$	$\displaystyle =-\frac{\phi_{i,j+1,k}-\phi_{i,j,k}}{\Delta y}$	(29)
$\displaystyle g_{z,i,j,k+1/2}$	$\displaystyle =-\frac{\phi_{i,j,k+1}-\phi_{i,j,k}}{\Delta z}$	(30)

これを用いると、 $\nabla\cdot \bm{g}=-4\pi G\rho$ は

$\displaystyle \frac{g_{x,i+1/2,j,k}-g_{x,i-1/2,j,k}}{\Delta x} +\frac{g_{y,i,j+... ...lta y} +\frac{g_{z,i,j,k+1/2}-g_{z,i,j,k-1/2}}{\Delta z} = -4\pi G \rho_{i,j,k}$

(31)

確かに、これは式(26)の後ろ側の $\nabla\cdot\bm{g}$ の表現を与えている。

さらに、この論文で取るべきだと主張されている差分は以下の通り。セル中心での $\bm{g}=(g_x,g_y,g_z)^t$ を

$\displaystyle g_{x,i,j,k}$	$\displaystyle =\frac{g_{x,i+1/2,j,k}+g_{x,i-1/2,j,k}}{2}$	(32)
$\displaystyle g_{y,i,j,k}$	$\displaystyle =\frac{g_{y,i,j+1/2,k}+g_{y,i,j-1/2,k}}{2}$	(33)
$\displaystyle g_{z,i,j,k}$	$\displaystyle =\frac{g_{z,i,j,k+1/2}+g_{z,i,j,k-1/2}}{2}$	(34)

のように定義し、式(1)の重力ソースをセル中心での密度 $\rho_{i,j,k}$ と上のセル中心の $\bm{g}$ を使って、

$\displaystyle \rho \bm{g}_{i,j,k}=\rho_{i,j,k}\left(\begin{array}{c} g_{x,i,j,k}\\ g_{y,i,j,k}\\ g_{z,i,j,k}\end{array}\right)$

(35)

で計算せよというものである。確かに、これは式(26)の第1項のセル中心での $\bm{g}$ の表現を与えている。