さて、前章で見たように、 空間１次精度風上差分は単調な解を与えるが、飛びが時間的に鈍ってくるという欠点 を持ち、空間２次精度のスキームは、飛びの鈍りは押えられるが、振動を生じるという 欠点を持っている。
そこで、なるべく空間２次精度を保ちながら、振動を生じる（短波長の振動の原因 となる）飛びの部分では空間１次精度に自動的に落ちるようなスキームはないかを 考える。
Lax-Wendroffスキーム（数値流速は
であらわされる）と空間１次精度スキーム（数値流速は
であらわされる）の中間のものを考える。 式(2.1)は
と書き直せるので、目標とする数値流速の形を
とし、空間１次精度に落すべきところでは
が０になるようなものを
考える。そこで
のことを流束制限関数と呼ぶ。
上の式を時間進化を表す式に代入すると、
または、
となる。
これから、
を計算すると、
ここで
である。
この
が0と1の間にあれば
単調であるべき部分でその単調性が保証され得る(monotonicity preverving)
（数値的振動をさけるための十分条件）。
つまり、
は
と
の間にあれば、
新たなピークを作ることもしないし、振動の振幅を大きくすることもないことに
よっている。
Figure 2.1: 流束制限の説明。
は
と
の間にあれば、
新たなピークを作ることもしないし、振動の振幅を大きくすることもない。
となる条件を考える。
の方は
であるから、
で割ると、
となる。
一方、
の方は
であるから、同じように
となる。式(2.10)、(2.12)より、数値的振動を避ける ために流束制限関数のもつべき条件は、
なので、
すくなくとも
であれば流束制限関数のもつべき条件を満足できる。
ここでさらに流束制限関数
に具体的条件をあたえるために、
これを満足する十分条件を考える。
となっていれば、式(2.14)を満足することはすぐにわかる。
r<0の場合、すなわち、
と
の符合が
異なっている場合、これは急激に振動が起こっているような場所に相当し、
後ろ側の条件から、
となっていなければならない。
それにともなって、数値流束は１次精度風上差分のものに落ちる。
r>0の場合、図2.2の
より上、
より下で、
より右下がわにBが来れば良いことがわかる。
Lax-Wendroffの数値流束に一致するのが、B=1の場合であったから、
なるべく
となるように選ぶ。
これを満足する流束制限関数のうち代表的なminmod関数とsuperbee関数を
図2.2に示した。
Figure 2.2: 代表的な流束制限関数。
minmod関数、superbee関数の例があげてある。
これまでの説明で
としてきた（風上をjの小さい方にとってきた）。
この時は、
は
（
、
、
）の関数で
である。
しかし
の場合は、
は
（
、
、
）の関数で
であることに注意しなければならない。
つまり、ステンシル（差分に用いる点例えばjの時間推進した値を得るために
j-1、j、j+1を使うといった差分の代表値同士の関係）が
の正負によって変化するということに注意しなければならない。
