Mj+1/2

Next: p_j+1/2 Up: AUSM法 Previous:

M_j+1/2

中間値を左側の値で決まる ${\cal M}^+_j$ と右側の値で決まる ${\cal M}^-_{j+1}$ の和として

M_j+1/2(M_j, M_j+1)	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle {\cal M}^+_j + {\cal M}^-_{j+1}$
	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle {\cal M}^+(M_j)+{\cal M}^-(M_{j+1})$	(7)

を考える。これは、右向きに進む波の成分 ${\cal M}^+$ と左向きに進む波の成分 ${\cal M}^-$ に分解することに対応している。マッハ数が1を越える場合は、M>0の時は ${\cal M}^+=M$ で ${\cal M}^-=0$ 、またM<0の時は ${\cal M}^+=0$ で ${\cal M}^-=M$ となるように、

$\begin{displaymath}{\cal M}^\pm\equiv\left\{ \begin{array}{l} {1 \over 2}(M\pm \... ... {\cal M}^\pm_\beta(M) \ \ {\rm otherwise,}\end{array}\right. \end{displaymath}$

(8)

のようにする。ここで、マッハ数が1以下の場合の関数 ${\cal M}^\pm_\beta$ については

$\begin{displaymath}{\cal M}^\pm_\beta=\pm{1 \over 4}(M\pm 1)^2\pm \beta (M^2-1)^2, {\rm for}\, -{1 \over 16}\le \beta \le{1 \over 2} \end{displaymath}$

(9)

のようにとるが、これは次のような性質をもっていればよい。それは

1.: ${\cal M}^+(M)+{\cal M}^-(M)=M$ ,
2.: ${\cal M}^+(M)\ge 0$ で ${\cal M}^-(M)\le 0$ ,
3.: ${\cal M}^\pm (M)$ はMに対して単調増加関数であること、
4.: 対称性から ${\cal M}^+(M)=-{\cal M}^-(-M)$ であること、
5.: ${\cal M}^\pm (M)$ は連続で微分可能であること。

式(9)の関数をいくつかの $\beta$ の値についてプロットすると、図1のようになる。

図: ${\cal M}^\pm (M)$ のマッハ数(-1<M<1)による変化。実線は $\beta =0$ 、点線は $\beta =1/8$ の場合。

このようにして決まる ${\cal M^\pm}$ から得られるM_j+1/2を用いて、流束E^(c)を定めれば良い。

$\begin{displaymath}E^{(c)}=\left\{\begin{array}{l} M_{j+1/2} \Phi_j a_j, \ \ ({... ... \Phi_{j+1} a_{j+1}, \ \ ({\rm otherwise}) \end{array}\right. \end{displaymath}$

(10)

c_j+1/2についてはLiou (1995 AIAA-95-1701-CP)では、別のとり方を推奨しているが、以下の計算例ではc_j+1/2についても風上の値をとったものを示した。

図: ${\cal P}^\pm (M)$ のマッハ数(-1<M<1)による変化。実線は $\alpha =0$ 、点線は $\alpha =3/16$ の場合。

Kohji Tomisaka 平成12年2月21日