pj+1/2

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p_j+1/2

Pの分解は

p_j+1	=	$\displaystyle {\cal P}^+ p_{j}+{\cal P}^- p_{j+1}$
	=	$\displaystyle {\cal P}^+(M_j) p_{j}+{\cal P}^-(M_{j+1}) p_{j+1},$	(11)

Mの分解と異なり、 ${\cal P}^\pm$ は $0<{\cal P}^\pm<1$ で、 M > 1の時は ${\cal P}^+=1$ で ${\cal P}^-=0$ 、またM < -1の時は ${\cal P}^-=1$ で ${\cal P}^+=0$ とならなければならないことは、Mの分解からもわかるだろう。 -1 < M < 1の間は、 ${\cal P}^\pm$ としては、関数値が、0と1の間を変化し、連続で微分可能な関数である、 ${\cal P}^\pm_\alpha(M)$ を採用する。

$\begin{displaymath}{\cal P}^\pm_\alpha(M) \equiv {1 \over 4}(M \pm 1)^2(2 \mp M) \pm \alpha M (M^2-1)^2, \end{displaymath}$

(12)

ここで、 $\alpha$ はパラメータで、 $-3/4 < \alpha < 3/16$ 。式(10)と合わせると、数値流束は、 ${\rm if}\ M_{j+1/2}>0$ の時は、

$\begin{displaymath}E_{j+1/2}= M_{j+1/2} \Phi_j c_j + ({\cal P}^+_j p_j + {\cal P}^-_{j+1} p_{j+1} ), \\ \end{displaymath}$

(13)

また、 ${\rm if}\ M_{j+1/2}<0$ の時は、

$\begin{displaymath}E_{j+1/2}= M_{j+1/2} \Phi_{j+1} c_{j+1}+ ({\cal P}^+_j p_j + {\cal P}^-_{j+1} p_{j+1} ), \end{displaymath}$

(14)

のようになる。式(12)の関数をいくつかの $\alpha$ の値についてプロットすると、図2のようになる。

$\alpha =\beta =0$ の時の空間１次精度のAUSM法のプログラムを用いて、前とおなじ衝撃波管問題をAUSM法を用いて解いた結果を図3に掲げる。 FDS法、FVS法とほぼ同等の性質の解が得られることがわかる。

図: LiuのAUSM法による衝撃波管問題の解。初期条件は同じ。 $\Delta t / \Delta x=0.25$

Kohji Tomisaka 平成12年2月21日